Sebagai contoh dari bilangan desimal, untuk angka 157:

157₍₁₀₎ = (1 x 100) + (5 x 10) + (7 x 1)

Perhatikan! bilangan desimal ini sering juga disebut basis 10. Hal ini dikarenakan perpangkatan 10 yang didapat dari 100, 101, 102, dst.

Mengenal Konsep Bilangan Biner dan Desimal

Perbedaan mendasar dari metoda biner dan desimal adalah berkenaan dengan basis. Jika desimal berbasis 10 (X10) berpangkatkan 10x, maka untuk bilangan biner berbasiskan 2 (X2) menggunakan perpangkatan 2x. Sederhananya perhatikan contoh di bawah ini!

Untuk Desimal:

14₍₁₀₎ = (1 x 10¹) + (4 x 10⁰)

= 10 + 4

= 14

Untuk Biner:

1110₍₂₎ = (1 x 2³) + (1 x 2²) + (1 x 2¹) + (0 x 2⁰)

= 8 + 4 + 2 + 0

= 14

Bentuk umum dari bilangan biner dan bilangan desimal adalah :

Biner	1	1	1	1	1	1	1	1	11111111
Desimal	128	64	32	16	8	4	2	1	255
Pangkat	2⁷	2⁶	2⁵	2⁴	2³	2²	2¹	2⁰	X^1-7

Sekarang kita balik lagi ke contoh soal di atas! Darimana kita dapatkan angka desimal 14(10) menjadi angka biner 1110(2)?

Mari kita lihat lagi pada bentuk umumnya!

Biner	0	0	0	0	1	1	1	0	00001110
Desimal	0	0	0	0	8	4	2	0	14
Pangkat	2⁷	2⁶	2⁵	2⁴	2³	2²	2¹	2⁰	X^1-7

Mari kita telusuri perlahan-lahan!

· Pertama sekali, kita jumlahkan angka pada desimal sehingga menjadi 14. anda lihat angka-angka yang menghasilkan angka 14 adalah 8, 4, dan 2!

· Untuk angka-angka yang membentuk angka 14 (lihat angka yang diarsir), diberi tanda biner “1”, selebihnya diberi tanda “0”.

· Sehingga kalau dibaca dari kanan, angka desimal 14 akan menjadi 00001110 (terkadang dibaca 1110) pada angka biner nya.

Mengubah Angka Biner ke Desimal

Perhatikan contoh!

1. 11001101₍₂₎

Biner	1	1	0	0	1	1	0	1	11001101
Desimal	128	64	0	0	8	4	0	1	205
Pangkat	2⁷	2⁶	2⁵	2⁴	2³	2²	2¹	2⁰	X^1-7

Note:

· Angka desimal 205 didapat dari penjumlahan angka yang di arsir (128+64+8+4+1)

· Setiap biner yang bertanda “1” akan dihitung, sementara biner yang bertanda “0” tidak dihitung, alias “0” juga.

2. 00111100₍₂₎

Biner	0	0	1	1	1	1	0	0	00111100
0	0	0	32	16	8	4	0	0	60
Pangkat	2⁷	2⁶	2⁵	2⁴	2³	2²	2¹	2⁰	X^1-7

Mengubah Angka Desimal ke Biner

Untuk mengubah angka desimal menjadi angka biner digunakan metode pembagian dengan angka 2 sambil memperhatikan sisanya.

Perhatikan contohnya!

1. 205₍₁₀₎

205 : 2 = 102 sisa 1

102 : 2 = 51 sisa 0

51 : 2 = 25 sisa 1

25 : 2 = 12 sisa 1

12 : 2 = 6 sisa 0

6 : 2 = 3 sisa 0

3 : 2 = 1 sisa 1

1 à sebagai sisa akhir “1”

Note:

Untuk menuliskan notasi binernya, pembacaan dilakukan dari bawah yang berarti 11001101(2)

2. 60₍₁₀₎

60 : 2 = 30 sisa 0

30 : 2 = 15 sisa 0

15 : 2 = 7 sisa 1

7 : 2 = 3 sisa 1

3 : 2 = 1 sisa 1

1 à sebagai sisa akhir “1”

Note:

Dibaca dari bawah menjadi 111100(2) atau lazimnya dituliskan dengan 00111100(2). Ingat bentuk umumnnya mengacu untuk 8 digit! Kalau 111100 (ini 6 digit) menjadi 00111100 (ini sudah 8 digit).

Aritmatika Biner

Pada bagian ini akan membahas penjumlahan dan pengurangan biner. Perkalian biner adalah pengulangan dari penjumlahan; dan juga akan membahas pengurangan biner berdasarkan ide atau gagasan komplemen.

Penjumlahan Biner

Penjumlahan biner tidak begitu beda jauh dengan penjumlahan desimal. Perhatikan contoh penjumlahan desimal antara 167 dan 235!

1 à 7 + 5 = 12, tulis “2” di bawah dan angkat “1” ke atas!

167

235

---- +

402

Seperti bilangan desimal, bilangan biner juga dijumlahkan dengan cara yang sama. Pertama-tama yang harus dicermati adalah aturan pasangan digit biner berikut:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 1 = 0 à dan menyimpan 1

sebagai catatan bahwa jumlah dua yang terakhir adalah :

1 + 1 + 1 = 1 à dengan menyimpan 1

Dengan hanya menggunakan penjumlahan-penjumlahan di atas, kita dapat melakukan penjumlahan biner seperti ditunjukkan di bawah ini:

1 1111 à “simpanan 1” ingat kembali aturan di atas!

01011011 à bilangan biner untuk 91

01001110 à bilangan biner untuk 78

------------ +

10101001 à Jumlah dari 91 + 78 = 169

Silahkan pelajari aturan-aturan pasangan digit biner yang telah disebutkan di atas!

Contoh penjumlahan biner yang terdiri dari 5 bilangan!

11101 bilangan 1)

10110 bilangan 2)

1100 bilangan 3)

11011 bilangan 4)

1001 bilangan 5)

-------- +

untuk menjumlahkannya, kita hitung berdasarkan aturan yang berlaku, dan untuk lebih mudahnya perhitungan dilakukan bertahap!

11101 bilangan 1)

10110 bilangan 2)

------- +

110011

1100 bilangan 3)

------- +

111111

11011 bilangan 4)

------- +

011010

1001 bilangan 5)

------- +

1100011 à Jumlah Akhir .

sekarang coba tentukan berapakah bilangan 1,2,3,4 dan 5! Apakah memang perhitungan di atas sudah benar?

Pengurangan Biner

Pengurangan bilangan desimal 73426 – 9185 akan menghasilkan:

73426 à lihat! Angka 7 dan angka 4 dikurangi dengan 1

9185 à digit desimal pengurang.

--------- -

64241 à Hasil pengurangan akhir .

Bentuk Umum pengurangan :

0 – 0 = 0

1 – 0 = 0

1 – 1 = 0

0 – 1 = 1 à dengan meminjam ‘1’ dari digit disebelah kirinya!

Untuk pengurangan biner dapat dilakukan dengan cara yang sama. Coba perhatikan bentuk pengurangan berikut:

1111011 à desimal 123

101001 à desimal 41

--------- -

1010010 à desimal 82

Pada contoh di atas tidak terjadi “konsep peminjaman”. Perhatikan contoh berikut!

0 à kolom ke-3 sudah menjadi ‘0’, sudah dipinjam!

111101 à desimal 61

10010 à desimal 18

------------ -

101011 à Hasil pengurangan akhir 43 .

Pada soal yang kedua ini kita pinjam ‘1’ dari kolom 3, karena ada selisih 0-1 pada kolom ke-2. Lihat Bentuk Umum!

7999 à hasil pinjaman

800046

397261

--------- -

402705

Sebagai contoh pengurangan bilangan biner 110001 – 1010 akan diperoleh hasil sebagai berikut:

1100101

1010

---------- -

100111

Komplemen

Salah satu metoda yang dipergunakan dalam pengurangan pada komputer yang ditransformasikan menjadi penjumlahan dengan menggunakan minusradiks-komplemen satu atau komplemen radiks. Pertama-tama kita bahas komplemen di dalam sistem desimal, dimana komplemen-komplemen tersebut secara berurutan disebut dengan komplemen sembilan dan komplemen sepuluh (komplemen di dalam system biner disebut dengan komplemen satu dan komplemen dua). Sekarang yang paling penting adalah menanamkan prinsip ini:

“Komplemen sembilan dari bilangan desimal diperoleh dengan mengurangkan masing-masing digit desimal tersebut ke bilangan 9, sedangkan komplemen sepuluh adalah komplemen sembilan ditambah 1”

Lihat contoh nyatanya!

Bilangan Desimal 123 651 914

Komplemen Sembilan 876 348 085

Komplemen Sepuluh 877 349 086 à ditambah dengan 1!

Perhatikan hubungan diantara bilangan dan komplemennya adalah simetris. Jadi, dengan memperhatikan contoh di atas, komplemen 9 dari 123 adalah 876 dengan simple menjadikan jumlahnya = 9 ( 1+8=9, 2+7=9 , 3+6=9 )!

Sementara komplemen 10 didapat dengan menambahkan 1 pada komplemen 9, berarti 876+1=877!

Pengurangan desimal dapat dilaksanakan dengan penjumlahan komplemen sembilan plus satu, atau penjumlahan dari komplemen sepuluh!

893 893 893

321 678 (komp. 9) 679 (komp. 10)

---- - ---- + ---- +

572 1571 1572

---- +

572 à angka 1 dihilangkan!

Analogi yang bisa diambil dari perhitungan komplemen di atas adalah, komplemen satu dari bilangan biner diperoleh dengan jalan mengurangkan masing-masing digit biner tersebut ke bilangan 1, atau dengan bahasa sederhananya mengubah masing-masing 0 menjadi 1 atau sebaliknya mengubah masing-masing 1 menjadi 0. Sedangkan komplemen dua adalah satu plus satu. Perhatikan Contoh .!

Bilangan Biner 110011 101010 011100

Komplemen Satu 001100 010101 100011

Komplemen Dua 001101 010110 100100

Pengurangan biner 110001 – 1010 akan kita telaah pada contoh di bawah ini!

110001 110001 110001

001010 110101 110110

--------- - --------- + --------- +

100111 100111 1100111

dihilangkan!

Alasan teoritis mengapa cara komplemen ini dilakukan, dapat dijelaskan dengan memperhatikan sebuah speedometer mobil/motor dengan empat digit sedang membaca nol!

Sistem Oktal dan Heksa Desimal

Bilangan oktal adalah bilangan dasar 8, sedangkan bilangan heksadesimal atau sering disingkat menjadi heks. ini adalah bilangan berbasis 16. Karena oktal dan heks ini merupakan pangkat dari dua, maka mereka memiliki hubungan yang sangat erat. oktal dan heksadesimal berkaitan dengan prinsip biner!

1. Ubahlah bilangan oktal 63058 menjadi bilangan biner !

6 3 0 5 à oktal

110 011 000 101 à biner

Note:

· Masing-masing digit oktal diganti dengan ekivalens 3 bit (biner)

· Untuk lebih jelasnya lihat tabel Digit Oktal di bawah!

2. Ubahlah bilangan heks 5D9316 menjadi bilangan biner !

heks à biner

5 à 0101

D à 1101

9 à 1001

3 à 0011

Note:

· Jadi bilangan biner untuk heks 5D9316 adalah 0101110110010011

· Untuk lebih jelasnya lihat tabel Digit Heksadesimal di bawah!

3. Ubahlah bilangan biner 1010100001101 menjadi bilangan oktal !

001 010 100 001 101 à biner

3 2 4 1 5 à oktal

Note:

· Kelompokkan bilangan biner yang bersangkutan menjadi 3-bit mulai dari kanan!

4. Ubahlah bilangan biner 101101011011001011 menjadi bilangan heks !

0010 1101 0110 1100 1011 à biner

2 D 6 C B à heks

Tabel Digit Oktal

Digit Oktal	Ekivalens 3-Bit
0	000
1	001
2	010
3	011
4	100
5	101
6	110
7	111

Tabel Digit Heksadesimal

Digit Desimal	Ekivalens 4-Bit
0	0000
1	0001
2	0010
3	0011
4	0100
5	0101
6	0110
7	0111
8	1000
9	1001
A (10)	1010
B (11)	1011
C (12)	1100
D (13)	1101
E (14)	1110
F (15)	1111