SISTEM BILANGAN

       System bilangan (number system) adalah suatu cara untuk mewakili besaran dari suatu item fisik. Sistem bilangan yang banyak dipergunakan oleh manusia adalah system bilangan desimal, yaitu sistem bilangan yang menggunakan 10 macam symbol untuk mewakili suatu besaran. Sistem ini banyak digunakan karena manusia mempunyai sepuluh jari untuk dapat membantu perhitungan. Lain halnya dengan komputer, logika di komputer diwakili oleh bentuk elemen dua keadaan yaitu off (tidak ada arus) dan on (ada arus). Konsep inilah yang dipakai dalam sistem bilangan binary yang mempunyai dua macam nilai untuk mewakili suatu besaran nilai.

A. Macam-Macam Bilangan dan Pengertiannya

• Bilangan Desimal, Berarti persepuluhan atau bilangan berbasis 10. Biasanya Bilangan tersebut adalah 0 sampai dengan 9. Bilangan ini merupakan bilangan yang sering digunakan secara umum oleh manusia untuk perhitungan matematika. Contoh penulisan (23)_10.
  
• Bilangan Biner, Sebuah bilangan yang ditulis dengan menggunakan dua simbol yaitu 0 dan 1. Sistem bilangan biner modern ditemukan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz pada abad ke-17.Contoh penulisan (10001110)₂.
• Bilangan Hexadesimal, Bilangan basis 16 adalah sebuah system bilngan yang menggunakan symbol 16. Simbol yang digunakan dari sistem ini adalah angka 0 sampai 9, ditambah dengan 6 simbol lainnya dengan menggunakan huruf A hingga F. Contoh penulisan (62AEC)₁₆.
• Bilangan Biner Terkode, Merupakan bilangan yang terdiri dari angka 1 dan angka 0. Berbeda dengan bilangan Biner biasa karena bilangan ini lebih condong untuk menyelesaian satu-persatu angka yang telah diberikan. Contoh penulisan (10010001)_BCD.
  

B. Konversi Bilangan (Perubahan Bilangan ke Bilangan Lain)

1. Desimal ke Biner

Contoh 1 : (15)₁₀ → (…)₂

15 : 2 = 7 sisa 1

7 : 2 = 3 sisa 1

3 : 2 = 1 sisa 1

1 : 2 = 0 sisa 1

Setelah itu sisanya yang kita tulis, dimulai dari yang paling bawah ke atas.

(1 1 1 1)₂
Cara lain :
Contoh 2 :
(256)₁₀ → (…)₂

Catatan : Cara pembagian, tulis di bawah bilangan yang dibagi (kelipatan 2). Sisanya kita bagi untuk bilangan berikutnya. Jika hasil pembagianya 0, maka pembagian ke bilangan berikutnya, sampai pembagian selesai. Soal di atas 256 bisa dibagi 256 dan hasilnya 1. Oleh karena itu tidak diperoleh sisanya dan untuk pembagian bilangan berikutnya hasilnya 0.

1024	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1	0,5	0,25	0,125	0,0625
		1	0	0	0	0	0	0	0	0

Jadi, hasil dari (256)₁₀ → (100000000)₂
Contoh 3 : (125,75)₁₀ → (…)₂

Catatan : 125,75 pada angka di bawah hanya bisa dibagi dengan 64 dan untuk dibagi 128 bilangan 125,75 tidak cukup. Dari pembagian dengan 64 diperoleh 1 dan dan sisanya 61,75. 61,75 bisa di bagi 32 diperoleh 1 dan sisanya 29,75. Begitu seterusnya. Hingga diperoleh hasil akhir 0,25 sama dengan 1 dan tidak diperoleh sisa (untuk pembagian bilangan di bawah 1 memakai tanda titik)

1024	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1	0,5	0,25	0,125	0,0625
				1	1	1	1	1	0	1	1	1

Jadi, hasil dari (125,75)₁₀ → (1111101.11)₂


2. Biner ke Desimal
Contoh 1 : (10110)₂ → (…)₁₀

Penyelesaian :

Pada bilangan Biner di atas ada 5 angka seperti contoh di atas. Maka, angka yang terakhir kita pangkatkan dengan 2 pangkat nol. Untuk lebih memudahkan dalam penjumlahan maka kita urutkan pangkat-pangkat tersebut atau gunakan rumus (B x 2^n-1). Misal : (1011101), terdapat 7 buah angka. Dengan mengunakan rumus di atas maka diperoleh angka pertama dikali 2⁶. Untuk perkalian selanjutnya 2⁵, 2⁴, dan seterusnya sampai 2⁰.

Catatan : B = (bilangan biner 0/1) dan n = (jumlah bilangan biner)

1 x 2⁴ = 16
0 x 2³ = 0
1 x 2² = 4
1 x 2¹ = 2
0 x 2⁰ = 0
Untuk menyelesaikan soal di atas kita harus menjumlahkan semua hasil yang diperoleh.
16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22
maka, (10110)₂ → (22)₁₀
Contoh 2 : (100101)₂ → (…)₁₀

Penyelesaian :

Pada bilangan Biner Di atas terdapat 6 angka. Maka pemangkatan dilakukan mulai dari 2⁵ sampai 2⁰.
1 x 2⁵ = 32
0 x 2⁴ = 0
0 x 2³ = 0
1 x 2² = 4
0 x 2¹ = 0
1 x 2⁰ = 1
Maka, untuk menyelesaikannya kita harus menjumlahkan semua hasil yang diperoleh.
32 + 0 + 0 + 4 + 0 +1 = 37.
Maka, (100101)₂ → (37)₁₀



3. Desimal ke Hexadesimal
Table Bilangan :

Desimal	Hexadesimal
0	0
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	7
8	8
9	9
10	A
11	B
12	C
13	D
14	E
15	F

Contoh 1 :

(226)₁₀ → (…)₁₆
Penyelesaian :

Untuk menyelesaikan soal di atas maka kita harus membagi bilangan desimal tersebut dengan angka 16.

226 : 16 = 14 sisa 2
14 : 16 = 0 sisa 14 (14 = E )
Ditulis mulai dari bawah ke atas
menjadi (E2)₁₆
Pembuktian :

Dengan cara mengalikan dengan 16 ^n-1.
(226)₁₀ → (E2)₁₆

14 x 16¹ + 2 x 16⁰ = 226
Contoh 2 :

(31)₁₀ → (…)₁₆

Penyelesaian :

31 : 16 = 1 sisa F (karena 15 = F)
1 : 16 = 0 sisa 1
menjadi (1F)₁₆

Maka, (31)₁₀ → (1F)₁₆

Pembuktian :

Dengan cara mengalikan dengan 16 ^n-1.
(31)₁₀ → (1F)₁₆

1 x 16¹ + 15 x 16⁰ = 31

4. Hexadesimal ke Desimal
Contoh 1 :

(1F)₁₆ → (…)₁₀

Penyelesaian :

Diawali dengan bilangan yang akhir, lalu dikali dengan 16 ^n-1.

Catatan : bahwa n = urutan bilangan. Ingat F = 15
1 x 16¹ + 15 x 16⁰ = 31
Maka, (1F)₁₆ → (31)₁₀

Contoh 2 :

(F1)₁₆  → (…)₁₀

Penyelesaian :

15 x 16¹ + 1 x 16⁰ = 241
Maka, (F1)₁₆  → (241)₁₀



5. Hexadesimal ke Biner

Contoh 1 :

(27FD)₁₆ → (…)₂ 

Penyelesaian :

Setiap bilangan Hexadesimal ditukar ke bilangan Biner dengan jumlah 4 digit.

Untuk itu kita perlu mengetahui tabel bilangannya.

Berikut tabel bilangan yang digunakan.
Tabel Bilangan :

Hexadesimal	Biner
0	0000
1	0001
2	0010
3	0011
4	0100
5	0101
6	0110
7	0111
8	1000
9	1001
A	1010
B	1011
C	1100
D	1101
E	1110
F	1111

Untuk menyelesaikan soal di atas kita urutkan huruf dan angka tersebut di mulai dari yang awal ke yang akhir.
2 = 0010
7 = 0111
F = 1111
D = 1101
menjadi (0010011111111101)₂

Maka, (27FD)₁₆ → (0010011111111101)₂
Contoh 2 :

(32AB)₁₆ → (…)₂
(lihat tabel untuk mengubahnya)

Penyelesaian :
3 = 0011
2 = 0010
A = 1010 Menjadi (0011001010101011)₂

B = 1011
Maka, (32AB)₁₆ → (0011001010101011)₂



6. Biner ke Hexadesimal

Caranya kita kelompokkan Bilangan Biner tersebut yang terdiri dari 4 angka untuk 1 kelompok. Pengelompokkan di mulai dari sebelah kanan. Jika di akhir terdapat kelompok yang tidak terdiri 4 angka maka tidak jadi masalah. Anda boleh memisahkannya/ menandainya agar tidak bingung.

Contoh 1 :

(1010101110000101)₂ → (…)₁₆

Penyelesaian :

(1010/1011/1000/0101)₂ (di hexadesimalkan, lihat tabel bilangan)

     A      B       8       5
Maka, (1010101110000101)₂ → (AB85)₁₆
Contoh 2 :

(10011000010010)₂ → (…)₁₆

Penyelesaian :

(10/0110/1011/0010)₂

   2    6        B      2
Maka, (10011010110010)₂ → (26B2)₁₆



7. Bilangan Biner Terkode Desimal (BCD)
Tabel Bilangan :

Bilangan
Desimal	BCD
0	0000
1	0001
2	0010
3	0011
4	0100
5	0101
6	0110
7	0111
8	1000
9	1001

Contoh :

(125)₁₀ → (…)_BCD

Penyelesaian :

Untuk menyelesaikan soal di atas maka kita harus memasukkan 1 persatu bilangan BCD yang ditunjukkan oleh bilangan desimal.
1 = 0001
2 = 0010
5 = 0101
Ditulis secara berurut
(000100100101) _BCD

Maka, (125)₁₀ → (000100100101)_BCD
(ditulis dari atas ke bawah)


C. Soal Latihan :
1. Apakah yang dimaksud dengan system bilangan ?
2. Sebutkan macam-macam bilangan dalam Rangkaian Logika dan jelaskan !
3. Konversi bilangan Desimal berikut ini ke bilangan Biner :

1. (45)₁₀
   
2. (67)₁₀
   
3. (123)₁₀
   
4. (361)₁₀
   
5. (786)₁₀
   

4. Konversi bilangan Biner berikut ini kebilangan Desimal :

1. (1000011)₂
   
2. (100101011)₂
   
3. (111000011)₂
   
4. (111001100)₂
   
5. (0111011100)₂
   

5. Konversi bilangan Desimal berikut ke bilangan Hexadesimal atau sebaliknya :

1. (16)₁₀
   
2. (45)₁₀
   
3. (2A5)₁₆
   
4. (E43)₁₆
   
5. (23E)₁₆
   

6. Konversi bilangan Biner berikut ke bilangan Hexadesimal berikut atau sebaliknya :

1. (11110001)₂
   
2. (01110110)₂
   
3. (1010101010)₂
   
4. (2E)₁₆
   
5. (4A)₁₆
   

GERBANG LOGIKA

A. Pengertian

    

    Gerbang logika merupakan dasar pembentukan sistem digital. Gerbang logika beroperasi dengan bilangan Biner, sehingga disebut juga gerbang Logika Biner. Tegangan yang digunakan dalam gerbang logika adalah TINGGI atau RENDAH. Tegangan tinggi berarti "1", sedangkan tegangan rendah berarti "0". Gerbang Logika adalah komponen yang bekerja dengan bilangan "1" dan "0".

"1" memiliki makna hidup atau menyala secara listrik = 2,4 V – 5 V

"0" memiliki makna mati atau padam secara listrik = 0 V – 0,8 V.

 

B. Macam-Macam Gerbang Logika

1. Gerbang NOT (Inverter)

       Merupakan gerbang logika yang memiliki satu input dan satu output. Gerbang ini disebut juga dengan gerbang pembalik. Maksudnya saat kita beri tegangan tinggi "1" maka outputnya akan berharga "0". Dan saat kita berikan tegangan rendah "0" maka outputnya akan berharga "1". Gerbang NOT memakai IC SN 7404.

Simbol :

 

Tabel Kebenaran :

In A	Out B
0	1
1	0

Gambar Rangkaian :

 Kesimpulan :

" Jika Inputnya '1' maka outputnya '0' (padam). Sedangkan jika Inputnya '0' maka outpunya '1'(nyala)." 

       2. Gerbang AND

 

       Gerbang AND merupakan sebuah gerbang logika yang memihak pada bilangan "0", karena apabila terdapat salah satu atau kedua bilangannya "0" maka hasilnya akan "0" (padam). Gerbang AND memiliki 2 buah input atau lebih, sedangkan outputnya hanya satu. Pada gerbang AND menggunakan IC SN 7408.

Simbol :

 Tabel Kebenaran :

In		Out
A	B	Z
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Sifatnya Z = A . B 

Gambar Rangkaian :

Kesimpulan :

"Jika salah satu inputnya atau keduanya berharga '0' maka outpunya juga '0' (padam). Dan jika kedua Inputnya berharga '1' maka outputnya juga berharga '1' (nyala)."

       3. Gerbang OR
 

         Gerbang OR merupakan gerbang logika yang memihak pada bilangan "1". Karena saat salah satu atau kedua bilangannya "1" maka hasilnya akan bernilai "1" (Nyala), sedangkan jika keduanya bernilai "0" maka hasilnya akan bernilai "0" (padam). Gerbang OR memiliki 2 buah atau lebih dan 1 output. Untuk membuat gerbang OR kita memakai IC SN 7432.

Simbol : 

Tabel Kebenaran :

In		Out
A	B	Z
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Sifatnya Z = A + B

Gambar Rangkaian :

Kesimpulan :

"Jika salah satu inputnya atau keduanya berharga '1' maka outputnya akan berharga '1' (nyala). Dan jika kedua inputnya berharga '0' maka outputnya juga '0' (padam)."

 

     4. Gerbang NAND
 

         Gerbang logika NAND merupakan kebalikan dari gerbang AND. Akan bernilai "1" (nyala) ketika kedua inputnya "0". Gerbang ini memiliki 2 buah input atau lebih dan satu buah output. Gerbang NAND juga merupakan modifikasi yang dilakukan pada gerbang AND dengan menambahkan gerbang NOT di dalam prosesnya. Untuk membuat gerbang NAND kita menggunakan IC SN 7400.

Simbol :

 

Tabel Kebenaran :

In		Out
A	B	Z
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Gambar Rangkaian :

Kesimpulan :

"Jika salah satu inputnya atau keduanya berharga '0' maka outputnya akan berharga '1' (nyala). Dan jika kedua inputnya berharga '1' maka outputnya akan berharga '0' (padam)."

 

        5. Gerbang NOR
 

         Gerbang NOR atau NOT-OR juga merupakan kebalikan dari gerbang logika OR. Semua input atau salah satu input bernilai "1", maka outputnya akan bernilai "0". Jika kedua inputnya bernilai "0", maka outputnya akan bernilai "1". Gerbang NOR menggunakan IC SN 7402.

Simbol :

Tabel Kebenaran :

In		Out
A	B	Z
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

Gambar Rangkaian :

Kesimpulan :

"Jika salah satu inputnya atau keduanya berharga '1' maka outputnya akan berharga '0' (padam). Sedangkan jika kedua inputnya berharga '0' maka outputnya akan berharga '1' (nyala)."

     6. Gerbang EXCLUSIVE – OR
 

     Gerbang X-OR merupakan singkatan dari kata Exclusive-OR. Sesuai namanya, gerbang logika ini merupakan versi modifikasi dari gerbang OR. Jika pada gerbang OR Anda akan mendapatkan hasil output yang serba "1" jika salah satu input atau keduanya bernilai "1". Gerbang X-OR akan bernilai "1" (nyala) jika salah satu inputnya bernilai "1". Sedangkan jika inputnya sama maka akan bernilai "0". Gerbang EXCLUSIVE–OR menggunakan IC SN 7486.

Simbol :

 Tabel Kebenaran :

In		Out
A	B	Z
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

 Gambar Rangkaian :

 Kesimpulan :

"Jika kedua inputnya berharga sama maka outputnya akan berharga '0' (padam). Sedangkan jika kedua inputnya berlainan maka outputnya akan berharga '1' (nyala)".

 

        7. Gerbang EXCLUSIVE – NOR
 

         Gerbang X-NOR atau Exclusive NOR ini mungkin tidak terlalu sering terdengar, namun aplikasinya cukup lumayan penting juga. Gerbang logika X-NOR memiliki kerja kebalikan dari X-OR. Jika pada gerbang logika X-NOR terdapat dua input yang sama, maka gerbang X-NOR akan mendapatkan hasil output bernilai "1". Namun jika salah satunya saja bebeda, maka nilai outputnya pasti bernilai "0". Gerbang ini menggunakan IC TTL 74266.

Simbol :

Tabel Kebenaran :

In		Out
A	B	Z
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

  

Gambar Rangkaian :

 Kesimpulan :

"Jika kedua Inputnya berharga sama maka outputnya akan berharga '1' (nyala). Sedangkan jika kedua inputnya berlainan maka outputnya akan berharga '0' maka outputnya akan berharga '0' (padam)".

 

 

Referensi :

         Panahatan, Drs. 2009. THEORY AND PRACTICE OF LOGIC CIRCUIT (Diktat Kuliah). Medan : Universitas Negeri Medan

          Organisasi dan Arsitektur Komputer by Yulisdin Mukhlis, ST., MT. PRINSIP DAN PERANCANGAN RANGKAIAN LOGIKA 
www.google.com 

www.wikipedia.com